PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT (PART 3)

Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah mengenal cara - cara menyelesaikan persamaan kuadrat . Postingan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan bab Persamaan dan Fungsi Kuadrat. Jika belum membaca postingan sebelumnya silahkan klik untuk PART II atau PART I.

2. Memahami akar pangkat dua bilangan negatif

Untuk postingan kali ini, kita akan membahas mengenai akar pangkat dua bilangan negatif. Tapi sebelum menjelaskan akar pangkat dua negatif, ada baiknya kita mengingat kembali mengenai akar pangkat dua bilangan positif. Perhatikan operasi - operasi mengkuadratkan dan menarik akar berikut ini .

Bilangan		Kuadrat	Bilangan		Akar Pangkat Dua
0		0	0		0
1		1	1		1
2		4	4		2
4		16	16		4

Dari tabel diatas dapat kita lihat bahwa kuadrat dari 3 adalah 16, maka akar pangkat dua dari 16 adalah 4. Seperti kita menulis . Jadi definisi dari akar pangkat dua yang positif dari suatu bilangan positif N ialah bilangan positif yang bila dikalikan dengan dirinya sendiri akan menghasilkan N.

Akar pangkat dua dari 0 adalah 0. Jadi akar pangkat dua suatu bilangan positif adalah positif, dengan kata lain hasil kuadrat suatu bilangan adalah bilangan positif. Tetapi akar pangkat dua dari suatu bilangan negatif hasilnya bukan negatif dan bukan pula positif. Bilangan seperti ini disebut bilangan imajiner dan dilambangkan dengan (i).
Misalnya , bilangan ini disebut dengan bilangan kompleks. Dinamakan bilangan kompleks karena terdiri dari dua macam bilangan yaitu bilangan real (nyata) dan bilangan imajiner (khayal). Secara umum, notasi dari bilangan kompleks adalah : a + bi.

3. Memahami jenis akar persamaan kuadrat

Telah kita ketahui bahwa akar - akar persamaan kuadrat  adalah , Tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat  kita dapat menentukan jenis akar - akar persamaan itu. Apakah nyata atau tidak, sama atau tidak, bergantung pada nilai bilangan  karena bilangan itu yang membedakan (mendiskriminasikan) berbagai macam akar. Maka  dinamakan diskriminan persamaan kuadrat dan dinyatakan dengan D. Jadi diskriminan persamaan  adalah . Diskriminan  menunjukkan jenis akar persamaan kuadrat sebagai berikut :

• , Kedua akar nyata (Jika  kuadrat sempurna, maka kedua akar akan rasional, jika tidak maka kedua akar irrasional)
• , Kedua akar sama (nyata dan rasional)
• , Kedua akar tidak nyata

4. Memahami rumus jumlah dan hasil kali akar - akar persamaan kuadrat

Rumus kuadrat memungkinkan kita menemukan hubungan antara akar - akar persamaan kuadrat dengan koefisien - koefisien a, b, c. Jika  akar - akar persamaan kuadrat  maka :

• 
• 

Bukti dari pernyataan diatas adalah sebagai berikut :

Akar - akar dari  adalah : 

jika dimisalkan  dan , maka :

• 
• 

         

Read More

Persamaan dan Fungsi Kuadrat (Part 2)

b. Dengan Melengkapkan Kuadrat

Contoh - contoh dari bentuk kuadrat lengkap (kuadrat sempurna) misalnya :  . Suatu persamaan kuadrat  dapat dinyatakan dalam bentuk . Cara penyelesaiaanya sebagai berikut :

c. DenganMenggunakan Rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat lazim disebut dengan rumus "abc". yaitu : 

Rumus diatas dapat kita perloleh dengan cara melengkapkan kuadrat dari bentuk
 sebagai berikut :

artinya :

, 

Read More

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT (PART 1)

Pada pembahasan kali ini, kita akan membahas mengenai PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT suatu bilangan. Dari gambar diatas, kita akan membahas mengenai persamaan dan fungsi kuadrat, menganalisa persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat sehingga mampu untuk menggambarkan grafik dari persamaan tersebut ke dalam sistem koordinat (koordinat cartesius) bgitu juga dengan sebaliknya (mengubah grafik persamaan kuadrat dalam koordinat cartesius menjadi sistem persamaan kuadrat). Untuk itu, kita akan membahas dan menjabarkan mengenai persamaan dan fungsi kuadrat ini.

1. Persamaan Kuadrat

Dalam kehidupan sehari - hari sering kita jumpai persoalan - persoalan yang berhubungan dengan persamaan kuadrat. Misalnya tentangluas daerah segitiga, lingkaran, serta bentuk persoalan lainnya tentang bilangan. Bentuk umum persamaan kuadrat dalam suatu variabel cx adalah

Oleh karena terdapat bentuk pangkat, maka setiap persamaan kuadrat mempunyai dua buah penyelesaian yang disebut akar - akar persamaan kuadrat, kita beri nama  . Untuk mencari dan menemukan akar - akar ini kita kenal beberapa cara yang sudah diajarkan waktu SMP yaitu :

a. Dengan memfaktorkan

b. Dengan melengkapkan kuadrat

c. Dengan memakai rumus

a. Dengan memfaktorkan

Jika  dapat difaktorkan, maka himpunan penyelesaian persamaan itu mudah untuk didapatkan tanpa menggunakan rumus atau grafik. Cara untuk menggunakan sifat sebagai berikut : Jika p,q adalah elemen R dan pq = 0, maka  p = 0 dan q = 0.

Sifat tersebut adalah suatu sifat dalam sistem bilangan real. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menfaktorkan adalah sebagai berikut :  

• Jika koefisien dari satu

Contoh :

faktorkan menjadi bentuk (x + ...) (x + ...) = 0

Titik - titik yang harus diisi adalah dua bilangan yang apabila dijumlahkan hasilnya -7 dan bila dikalikan hasilny +12. Kedua bilangan tersebut adalah -4 dan -3. Sehingga :

maka HP = {4 , 3}

Contoh :
faktorkan menjadi bentuk (x + ...) (x + ...) = 0
Bilangan yang dapat mengisi titik - titik tersebut adalah +7 dan -4, sehingga :

Maka HP = {-7, 4}

• Jika koefisien dari  lebih besar dari satu dan merupakan bilangan bulat. 

Contoh : , persamaan ini dapat kita tulis menjadi (2x + ... ) (x + ...) = 0. Kedua bilangan yang harus mengisi titik - titik tersebut adalah faktor - faktor dari 18 yang apabila bilangan ruas kiri dikalikan , maka perkalian dalamnya hasilnya harus +9x dan perkalian luar hasilnya harus -18. Kedua bilangan tersebut adalah -3 dan +6. Sehingga :

Maka HP = {3/2 , -6}

• Jika koefisien dari  adalah bentuk kuadrat, koeefisien dari x adalah nol dan suku tetapnya bernilai negatif.

Contoh :, ruas kiri berbentuk selisih kuadrat , maka :

Maka HP =

• Jika  berbentuk kuadrat sempurna

Pemfaktoran bentuk kuadrat sempurna
Contoh :

 

Maka HP =

• Jika suku tetap dari  adalah nol.

Contoh :

maka HP = 

Sekian dulu pembahasan mengenai persamaan dan fungsi kuadrat kali ini, pada pembahasan selanjutnya akan dijelaskan mengenai cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat dan menggunakan rumus.

Read More